[선형대수] 좌표계 변환

좌표계 변환

좌표계 (Coordinate System)

벡터(vector)

다음과 같이 2-벡터 v가 주어졌다고 하자. 이 벡터는 $xy$-평면 상에서 원점 (0,0)에서 시작하여 (a,b)에서 끝나느 벡터를 의미한다. v는 다음과 같이 해석될 수 있다.

\[\mathbf{v}=\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]=a\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]+b\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right]\]

즉, v 벡터가 A라는 계수 행렬을 만나서 표현 될 수 있는 선형조합(Linear Combination)을 말한다. 여기서 $a$ 스칼라배 [1, 0] 만큼 움직인 것을 나타낸다. 이 말은 $x$: +1, $y$: 0 만큼 이동 했다는 의미이다. 이를 정리하면 다음과 같다.

• $a\begin{bmatrix} 1\ 0 \end{bmatrix}$: $x$- 축으로 내린 수선의 발 $\rightarrow$ $x$-축의 단위로 $a$번 전짐함.

• $b\begin{bmatrix}0\ 1\end{bmatrix}$: $y$- 축으로 내린 수선의 발 $\rightarrow$ $y$-축의 단위로 $b$번 전짐함.

벡터의 스칼라배

벡터 $v$와스칼라 $c$에대해, $cv$는 $c$ 에 의한 $v$의 스칼라배라한다.이는 $v$의 각 성분에 $c$를 곱한 것이다.

새로운 좌표계

새로운 좌표계를 만든다는 말은 어떤 벡터 $v$에 도착하기까지의 과정을 오롯이 $v_1$과 $v_2$를 몇번(스칼라배) 사용해서 도착했는지로 표현 한다는 의미이다.

즉, $v_1$과 $v_2$를 이용해 만든 새로운 좌표계에서 $v$의 좌표값은 (4,3)이라 한다. 왜냐하면 다음과 같이 스칼라배를 이용해서 선형결합으로 표현되기 때문이다.

\[4v_1 + 3v_2 = v\]

정리

위의 과정을 선형시스템으로 정리하면 다음과 같다.

\[\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{ll} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \mathbf{v} \end{array}\right] \begin{pmatrix} = \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix} \end{pmatrix} \\ \begin{bmatrix} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]} \end{array}\]

1번 수식을 해석하면 다음과 같다. $v_1$을 4번 사용하고 $v_2$를 3번 사용해서 $v$라는 벡터에 도착 하였고 이는 $a$와 $b$로 구성되어 있다.

2번 수식해석 해보면, 사실은 우항에는 항등 행렬이 숨겨져 있다. 항등 행렬은 $\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0&1\end{bmatrix}$ 로 표현 가능하다. $\begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}$ 이 의미 하는 것은 $x$축을 의미하고, $\begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix}$이 의미하는 것은 $y$축을 의미한다. 숨겨진 항등행렬의 의미는 숨겨진 좌표계를 의미하고, 이는 표준 좌표계를 의미한다. 이는 표준 벡터를 $a$와 $b$만큼 이동해서$(a=4, b=3)$ 벡터 $v$를 표현 할 수있다는 말고 같다. 이를 정리하면 다음과 같다.

• (우항): $e_1$과 $e_2$를 기저(basis)로 가지는 표준좌표계(standard coordinate system)에서 벡터 $v$는 좌표값 $(a,b$)이다.
• (좌항): $v_1$과 $v_2$를 기저(basis)로 가지는 좌표계(coordinate system)에서는 동일한 벡터 $v$의 좌표값 $(4,3)$이다.

좌표계 변환 (Change of Basis)

위에서 설명한 내용을 한 문장으로 정리하면 다음과 같다.

임의의 한 좌표를 부르는 이름 각각 다를 수 있다. 표준 좌표계를 사용해서, 임의의 좌표계를 사용해서 해당 좌표를 부르는 이름이 각각 다르기 때문이다.

기저(Basis) 관점

다음 선형 시스템에서 $b$의 관점에서 $Ax$를 바라본다고 생각해보자.

\[Ax = b\]

• (우항): 표준좌표계에서 임의의 벡터의 좌표값은 $b$이다.
• (좌항): $A$의 열벡터들을 기저(basis)로 가지는 좌표계에서는 동일벡터의 좌표값은 $x$이다.

\[\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 6 \end{array}\right]\]

위 선형시스템에서 [1,2]와 [-1,2]의 기저를 사용하면 [2,1]로 해당 좌표를 나타낼 수 있고, 표준좌표계([1,0], [0,1])로 표현하면 [1,6]으로 나타 낼 수 있다.

역행렬 관점

역행렬을 이용해 선형시스템의 해 즉, $x$의 관점에서 바라본다고 생각해보자.

\[x = A^{-1} b\]

• (우항): 표준좌표계에서 임의의 벡터의 좌표값은 $x$이다.
• (좌항): $A^{-1}$의 열벡터들을 기저(basis)로 가지는 좌표계에서는 동일벡터의 좌표값은 $b$이다.

\[\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 6 \end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{rl} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\ 6 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]\]

$b$의 관점(1,6)에서 살펴 보았던 $x$는 [1,2]와 [-1,2]의 기저를 사용해서 [2,1]으로 표현 하였다. 하지만, $x$의 관점(2,1)에서 $b$는 [1/2, 1/4]와 [-1/2, 1/4]의 기저를 사용해서 [1,6]으로 표현하고 있다.

기저의 관점에서는 $b$의 관점에서 $x$(좌항)를 살펴 보았다. 하지만 이번에는 $x$의 관점에서 b를 바라볼 수 있게 되었다. 즉, 선형시스템은 좌표계 변환 이다라고 해석 할 수 있다.

정리

행렬은 좌표계이고, 벡터는 좌표값이다.

임의의 v는 다양한 좌표계에서 표현 될 수 있다.

\[\begin{matrix} v\\ \text{(표준좌표계에서 표현된 v)}\\ & \end{matrix} \begin{matrix} = &A &[v]_A\\ &\text{(좌표계 A)} &\text{(좌표계 A에서 표현된 v)}\\ = &B &[v]_B\\ &\text{(좌표계 B)} &\text{(좌표계 A에서 표현된 v)} \end{matrix}\]

사실은 $v$앞에는 항등 행렬(표준 좌표계)이 숨겨져 있다.

예제#1

문제

2-벡터 벡터v가 표준좌표계에서 (2,3)으로 표현된다고 해보자. 백터 (3,1)과 (1,-2)를 기저벡터로 가지는 새로운 좌표계를 도입 했을대, 해당 벡터 v는 어떤 좌표를 가질까?

풀이

위 문제를 다음 수식으로 정리 할 수 있다. (3,1)를 몇칸 이동하고, (1,-2)를 몇칸 이동해야 표준좌표계로 표현된 (2,3)에 도달 할 수 잇을까? 라는 말과 같다.

\[x_1\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\]

이를 다음과 같이 정리 할 수 있다.

\[\begin{bmatrix}3 & 1\\1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\]

w