[선형대수] 선형변환

Written by metterian
on 

선형변환(Linear Transformation)

들어가며

매핑룰(mapping rule)

중등 교과과정에서 배운 함수의 개념은 다음과 같다.

함수는 두 집합간의 맵핑룰(mapping rule)이다.

입력이 정의되는 D를 정의역(domain)이라고 한다. 출력이 정의되는 집합 C를 co-domain(공역: 쌍을 이루는)이라고 하여, co-domain 중 실제 함수의 출력이 나오는 부분집합을 range(치역)이라고 한다.

함수 f는 아래 그림과 같이 $D$의 각 원소 $x$가 $c$의 한 원소각해 봅시다. 이 $y(=f(x))$에 대응되는 매핑룰(mapping role)이다.

\[D \ \xrightarrow{f}\ C \ (혹은) \ f:D \ \rightarrow \ C\]

Codomain - Wikipedia

고등 교과 과정에서 다음과 같은 함수를 자주 접해 봤을 겁니다.

\[f(x)=x^{2}+2 x+3\]

이 함수는 domain과 co-domain을 강조하여 다음과 같이 적을 수 있습니다.

\[\mathbb{R} \ \xrightarrow{f} \ \mathbb{R} \ (혹은)\ \ f: \mathbb{R} \ \rightarrow \ \mathbb{R}\]

C-스타일의 프로그래밍을 하다보면 다음과 같이 함수 $f$를 구현 할 수 있습니다. 입출력을 실수 집합 $R$(real number)을 다루는 함수 라는 것을 명시하기 위해 입출력 타입을 float으로 지정했습니다.

float f(float x) {return x*x + 2*X +3;}


선형변환

선형변환의 의미

사상은 한 집합의 원소를 다른 집합의 원소로 대응시키는 것 즉 일종의 함수를 말한다. 선형변환은 사상에 의해 대응되는 두 집합이 벡터공간인 특별한 사상으로, 다음과 같이 정의합니다.

벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$로 가는 사상 $L : V \rightarrow W$ 가 다음 두 조건을 만족하면,

이를 선형변환(inear transformation) 또는 선형사상(linear mapping)이라 한다.

(1) \(L(u+v)=L(u)+L(v)\) (2) \(L(c u)=c L(u)\)

여기서의 선형변환 혹은 선형 사상의 의미는 선형함수(linear fuction)을 의미하기도 합니다. 즉, 이전에는 함수를 직접그래서 선(linear)의 형태를 파악했어야 했습니다. 하지만, 위의 선형변환 정의를 통해 함수를 직접 그리지 않고도 선형의 유무를 파악 할 수 있게 되었습니다.

\(L(u+v)=L(u)+L(v)\) 의 의미

식을 좀더 잘펴보자면, 좌항에서의 덧셈과 우항에서의 덧셈은 다른 종류의 덧셈입니다. 좌항에서의 덧셈은 domain에서의 덧셈이고, 우항에서의 덧셈은 co-domain에서의 덧셈입니다. 그러므로, 좌항과 우항이 다른게 정상입니다. 하지만, 선형함수, 즉 직선 처럼 생겼으면 신기하게 좌항과 우항의 값이 같게 됩니다. 즉 정리하면 다음과 같습니다.

덧셈(+) 연산을 먼저 수행한 다음, 함수를 수행한 결과와 입력에 대해 함수를 수행한 후 나온 결과에 대해 덧셈(+) 연산을 수행한 결과는 같다.

image-20210429113943065

\(L(c u)=c L(u)\) 의 의미

위 식도 마찬가지 입니다. 좌항의 결과가 우항의 결과가 달라야 하지만 결과가 같게 됩니다. 정리하면 다음과 같습니다.

스칼라 곱셉 연산을 먼저 수행한 다음, 함수를 수행한 결과와 입력에 대해 함수를 수행한 후 나온 결과에 대해 스칼라 곱셈 연산을 수행한 결과는 같다.


변환(Transformation)

함수의 입력이 $n$-벡터이고 출력이 $m$-벡터인 함수 $T$를 생각해 봅시다. 이와같이 함수의 입출력이 벡터인 함수를 변환(transformation)이라고 합니다.

\[T : \mathbb{R}^n \; \rightarrow \; \mathbb{R}^m\]

특별히, $n=m$인 경우, 해당 변환을 연산자(operator)라고 합니다.

변환의 예: MNIST 손글씨 인식문제

예를 들어, $28 \times 28$ 손글씨 숫자영상을 그레이스케일로 받아, 0부터 9까지의 어던 숫사가 적혀 있는지 알아내는 MNIST 손글씨 인식 문제는 다음과 같은 (비선형)변환 입니다.

\[T : \mathbb{R}^{28 \times 28} \rightarrow \mathbb{R}^{10}\]


행렬변환(Matrix Transformation)

$m \times n$ 행렬은 $n$-벡터를 입력받아 $m$-벡터를 출력으로 내는 선형 변환 이며, 임의의 선형변환은 행렬로 표현가능 하다. 즉, 행렬은 선형변환의 구현체 입니다.

$m \times n$ 행렬은 $A$에 대해 $Ax$는 $n$-벡터를 입력 받아 $m$-벡터를 출력으로 내는 변환 $T_A(x) = Ax$ 로 볼 수있습니다. 이 변환은 행렬이 정의하기 때문에 행렬변환(matrix transformation)이라고 합니다.

\[T_A : \mathbb{R}^n \ \rightarrow \ \mathbb{R}^m\]

그런데 행렬변환은 다음의 선형함수 성질을 모두 만족하기 때문에 선형변환(linear transformation)이다.

\[\begin{aligned} T_{A}(\mathbf{x}+\mathbf{y}) &=T_{A}(\mathbf{x})+T_{A}(\mathbf{y}) \\ T_{A}(c \mathbf{x}) &=c T_{A}(\mathbf{x}) \end{aligned}\]

위 식을 풀이하면 다음과 같다. 좌항의 행렬 변환은 행렬 $A$, $n$-벡터가 존재하는 행렬이다. 즉, $n$-벡터들간의 덧셈이다. 하지만, 우항의 덧셈은 변환이 완료된 $m$-벡터들간의 덧셈이다. 스칼라배도 이와 동일하다,


표준 행렬(standard matrix)

행렬변환 코딩하기

다음 절차를 통해 우리가 원하는 방식대로 동작하는 행렬변환을 코딩 할 수 있다.

  1. 구현하고자하는 기능(function)의 입력과 출력이 벡터로 정의되는지 확인 한다.
  2. 구현하고자 하는 기능이 선형인지 확인 한다.
  3. 입력이 $n$-벡터이고, 출력이 $m$-벡터이면 $m \times n$ 표준 행렬을 구성한다.


표준행렬을 이용한 선형변환 코딩

다음의 $m \times n$ 표준행렬(standard matrix)을 구성 함으로써, 우리가 원하는 방식대로 동작하는 행렬변환 $T_A : \mathbb{R}^n \ \rightarrow \ \mathbb{R}^m$ 을 코딩 할 수 있다.

\[A=\left[T_{A}\left(\mathbf{e}_{1}\right) \quad T_{A}\left(\mathbf{e}_{2}\right) \quad \cdots \quad T_{A}\left(\mathbf{e}_{n}\right)\right]_{m \times n}\]

표준 행렬 구하기

  • n-차원 표준 기저벡터 ${e_1, e_2, \dots, e_n}$을 생각한다.
  • 각 $n$-차원 표준 기저베겉 $e_i$에 데해, 우리가 원하는 기능을 동작 시켜 얻은 결과인 $m$-차원 벡터 $T(e_i)$를 표준 행렬의 각 열에 적는다.