[확률과 통계] 확률-2
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확률 -2
여사건
사건 A의 여사건이란, 사건 A가 일어나지 않을 사건을 의미한다. $A^{C}$ 로 표기한다.
예제
주사위 1개를 던지는 실험을 가정해보자
- 사건 A: 주사위 숫자가 짝수인 사건
이때, 사건 A의 여사건은 주사위의 짝수가 아닐 사건 즉, 주사위가 홀수일 사건을 의미한다.
특징
어떤 사건과 그 여사건은 반드시 서로 배반이다. 즉, 둘 중에 하나는 반드시 일어난다.
\(\begin{array}{l}
P\left(A \cup A^{C}\right)=P(A)+P\left(A^{C}\right)=1 \\
P(A)=1-P\left(A^{C}\right)
\end{array}\)
확률의 분할 법칙
사건 B는 다음과 같이 나눠진다.
- $B=(A \cap B) \cup\left(A^{C} \cap B\right)$
- $(A \cap B) \text { 와 }\left(A^{C} \cap B\right)$ 는 서로 배반 사건이다. 즉, 두 집합의 교집합은 공집합니다.
따라서, 다음과 같이 정리 할 수 있다.
\(P(B)=P\left[(A \cap B) \cup\left(A^{C} \cap B\right)\right]=P(A \cap B)+P\left(A^{C} \cap B\right)\)
위 식은 다음과 같이 다시 정리가 가능하다.
\(\begin{array}{l} P(B)=P(A \cap B)+P\left(A^{C} \cap B\right) \\ =P(B \mid A) P(A)+P\left(B \mid A^{C}\right) P\left(A^{C}\right) \end{array}\) 즉, B라는 사건을 A의 사건과 A의 여사건으로 분할이 가능하다.
예제
어떤 사파리에서는 $70 \%$ 가 사자이고, 나머지가 호랑이다. 사자는 60% 가 2 살 이상이고, 호랑이는 $40 \%$ 정도가 2살 이상이다. 전체 동물 중 2살 이상인 동물의 비율은?
- 사건 A: 동물이 사자인 사건
- 사건 B: 동물이 2살 이상인 사건
베이즈 정리
앞의 예제에서 동물 한마리를 랜덤하게 선택했는데, 이 동물이 2살 이상이었다.(조건: 사후확률) 이 동물이 사자일 확률은 ?
- 사건 A: 동물이 사자인 사건
- 사건 B: 동물이 2살 이상인 사건
이전에는 $P(B \mid A)$ 을 통해 문제를 해결 했지만, 위 문제에서는 $P(A \mid B)$ 를 묻고 있다. 이것을 구하기 위해 우리는 $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 을 구하면 된다. 이를 다음과 같은 식으로 정리가 가능하다.
\(P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B \mid A) P(A)+P\left(B \mid A^{C}\right) P\left(A^{C}\right)}\) 여기서 주목할 점은 $P(A \mid B)$ 를 구하기 위해서 $P(B \mid A)$ 로 문제를 변환해서 구하는 점이 중요하다. 이렇게 문제를 바꿀 수 있는 점이 중요하다. 즉, 위의 확률의 분할 법칙을 이용해서 $P(B)$ 를 다른 방식으로 유도 해낸것고 동일한 메커니즘이다. 이렇게 유도된 식을 통해 다음과 같이 계산이 가능하다.
\[\frac{0.6 \times 0.7}{0.6 \times 0.7+0.4 \times 0.3}=0.78\]처음의 확률
- 사전 확률 (prior probability): 아무 조건이 없었을 때의 확률, 이 사전확률에서 추가적인 정보가 습득이 되면 이를 사후 확률 이라고 한다.
수정된 확률
- 사후 확률 (posterior probability): 사전 확률에 추가적으로 다른 조건이 붙는 것을 사후 확률 이라고 한다.
공식
\[P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B \mid A) P(A)+P\left(B \mid A^{C}\right) P\left(A^{C}\right)}\]처음의 확률 A 즉, 사전확률로 A가 주어 졌을때, 이 확률이 다른 조건 즉 사후확률(수정된 확률)이 주어지면 위의 공식을 사용해서 구할 수 있다.
위의 예제에서 아무정보가 없을 때 사자일 확률은 0.7이였지만, 2살 이상이라는 추가 정보로 인해 그 확률이 0.78이 되었다.
베이즈 정리 활용
다음 그림과 같이 사건 $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{k}$ 가 표본공간 S를 분할 한다고 가정해보자. 가운데 빨간색 영역은 사건 A를 뜻한다.
사건 A는 사건 B와의 교집합들의 합으로 구성 될 수 있다. 즉, 사건 A가 주어졌을 때의 사건 B는 다음과 같이 구할 수 있다.
\[P\left(B_{r} \mid A\right)=\frac{P\left(B_{r} \cap A\right)}{P(A)}=\frac{P\left(B_{r} \cap A\right)}{\sum_{i-1}^{k} P\left(B_{i} \cap A\right)}\\ =\frac{P\left(B_{r}\right) P\left(A \mid B_{r}\right)}{\sum_{i=1}^{k} P\left(B_{i}\right) P\left(A \mid B_{i}\right)}\]위 식을 설명하자면 A가 주어졌을때 B를 구하는 문제를 B가 주어졌을 때 A를 구하는 문제로 바꿔 풀 수 있다.
예제
어떤 사람이 검은색과 흰색의 셔츠를 가지고 있는데, 매일 아침 3/4정도는 검은색 셔츠를 입고, I/4 정도는 흰색 셔츠를 입는다. 이 사람이 검은색 셔츠를 입었을 때는 3/4 정도 넥타이를 매고, 흰색 셔를를 입었을 때는 $1 / 2$ 정도 넥타이를 맨다고 하자. 어느 날 이 사람이 넥타이를 맸다면, 이 사람이 검은색 셔츠를 입었을 확률을 구하시오.
풀이
- 사건 A: 아침에 검은색 셔츠를 입는 사건 $\Rightarrow$ $P(A)=\frac{3}{4}$
- 사건 B: 넥타이를 맨 사건 $\Rightarrow$ $P(B \mid A)=\frac{3}{4}, P\left(B \mid A^{C}\right)=\frac{1}{2}$
이렇게 조건이 주어지고 우리가 궁금 한 것은 $P(A \mid B)$ 이다. 다음과 같이 베이지안 공식을 적용해서 풀이 할 수 있다.
\[P(A \mid B)=\frac{(3 / 4) \times(3 / 4)}{(3 / 4) \times(3 / 4)+(1 / 2) \times(1 / 4)}=\frac{9}{11}\]