[확률과 통계] 확률-1

Written by metterian
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확률 (Probability)

상대도수에 의한 정의

똑같은 실험을 무수히 많이 반복할 때 어떤 일이 일어나는 비울

고전적 정의

표본 공간 (smaple space)

사건

어떤 사건이 일어날 확률

예제

주사위를 2번 던졌을 때 합이 10일 확률을 구하라.

풀이

표본 공간에는 총 36개의 원소가 존재 한다. {(1,1), (1,2), …, (6,6)}. 이 중 합이 10일 사건은 {(4,6), (5,5), (6,4)}로 나타난다. 즉, 확률운 3/36 = 1/12가 된다.

$A$: 어떤 사건

확률의 계산

고전적 확률

조합 (Combination)

어떤 집합에서 순서에 상관없이 뽑은 원소의 집합

n개 중 r개를 뽑는 조합의 수

\[\begin{array}{c} { }_{n} C_{r}=\left(\begin{array}{c} n \\ r \end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !} \\ n !=n(n-1)(n-2) \ldots 2 \cdot 1 \end{array}\]

예제1

\[\left(\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right)=\frac{5 !}{2 !(3) !}=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1}=10\]

예제2

검은공 3개, 흰공 4개가 주어 졌다고 가정해보자. 2개의 공을 무작위로 뽑을 때, 둘다 흰공이 나올 확률은?

풀이

위 같이가정을 하면, 표본공간은 {(1,2), (1,3), (1,4), …, (6,7)}이 구성 된다. 이 중 흰공이 2개인 사건은 (4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7) 로 구성 된다. 이를 구하면 확률을 얻게 된다. 조합은 관점으로 살펴 보면 다음과 같다.

이렇게 확률을 구하면 $\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$을 얻을 수 있다.

덧셈 법칙 (Addition Law)

위의 방식 대로 방삭 모든 경우의 수를 계산하는 것이 복잡하다. 이에 대한 개선안이 존재하고 그중 덧셈 법칙에 대해 살펴 보려 한다.

주사위를 던지는 실험

사건 A

사건 B


사건 A나 사건 B가 일어날 확률

\[A \cup B=\{2,4,5,6\}\\ P(A \cup B)=\frac{|A \cup B|}{|S|}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]

사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률

\[A \cap B=\{4,6\} \\ P(A \cap B)=\frac{|A \cap B|}{|S|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

이렇게 구하지 않고 다음의 덧셈 법칙을 사용해서 구할 수 있다.

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

예제

1000명의 사람이 있는데, 남자의 비율이 $40 \%$ 20세 미만의 비율이 43%, 20세 미만이면서 남자인 사람의 비율이 15%라고 한다. 한 명의 사람을 랜덤하게 뽑을 때 남자이거나 20세 미만일 확률?

풀이

\[\begin{array}{l} P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ P(A \cup B)=0.4+0.43-0.15=0.68 \end{array}\]


서로 배반 (Mutally Exclusive)

사건 A, B가 있다고 가정 할 때, 사건 A가 일어나는 경우 사건 B가 절대로 일어나지 않는 경우를 말한다. 즉, 두 사건의 교집합이 공집합인 경우를 말한다.

\[\begin{array}{l} P(A \cap B)=0 \\ P(A \cup B)=P(A)+P(B) \end{array}\]

예제

$\rightarrow$ A와 B는 서로 배반이다. 이를 식으로 정리하면 다음과 같다.

\[P(A \cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}\]


조건부 확률 (Conditional Probability)

어떤 사건 A가 일어났을 때, 다른 사건 B가 일어날 확률

\[P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\ 단, P(A)>0\]

예제

주사위를 하나 던졌는데, 4이상의 수가 나왔다. 이때 그 수가 짝수일 확률은?

\[P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{1 / 3}{1 / 2}=\frac{2}{3}\]

곱셈법칙

\[\begin{array}{c} P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\ P(A \cap B)=P(B \mid A) P(A) \end{array}\]

예제

어떤 학교에서 60%의 학생이 남학생이다. 그 학교의 남학생의 경우 80%는 축구를 좋아한다. 그 학교에서 학생 1명을 랜덤하게 뽑았을 때, 축구를 좋아하는 남학생일 확률은?

\[P(A \cap B)=P(B \mid A) P(A)=0.8 \times 0.6=0.48\]

서로 독립

$P(B \mid A)=P(B)$ 인 경우 사건 A와 B는 서로 독립이라고 한다. 즉, 사건 A가 일어나는 여부에 상관없이 사건 B의 확률은 영향 받지 않는다. 이를 식으로 정리하면 다음과 같다.

\[P(A \cap B)=P(B \mid A) P(A)=P(B) P(A)=P(A) P(B)\]

이렇게 서로독립일 경우 조건부 확률의 곱셈법측을 활용하기 쉬워 집니다. 단, 서로 배반 (mutally exclusive)와는 다른 개념 입니다. 예를 들어 서로 배반 사건이 성립하면 두 사건은 상당한 영향력이 존재 합니다. 한 사건이 발생하면 다른 사건이 발생하지 못하는 강한 영향력이 존재 합니다. 즉, 한 사건이 다른 사건에 완전히 종속 되게 됩니다.

예제

주사위를 2개 던지는 실험